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clase n°2

NÚMEROS ENTEROS

La letra Z designa a los números enteros 

Los números positivos, el cero (0) y los números negativos forman el conjunto de los números enteros y se designan por la letra Z.

Se representa como Z = {...-10, -9,... -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}.

A continuación, representamos un esquema de estos números:

• Números enteros positivos: +1, +2, +3, +4, +5, +6...
• Números enteros negativos: -1, -2, -3, -4, -5, -6...
• Igual que los números naturales, los números enteros también se pueden representar sobre una recta.
• El 0 divide a la recta en dos semirrectas.
• Las semirrectas se dividen a su vez en partes iguales: unidades.
• Los números enteros positivos se sitúan a la derecha del cero.
• Los números enteros negativos se sitúan a la izquierda del cero.
  
  
  
   
  A cada número entero le podemos asignar un número positivo que se llama valor absoluto del número. Podemos definir el valor absoluto como la distancia (en unidades) entre dicho número y el cero en la recta numérica.
  En la práctica, se escribe entre dos barras || y resulta el mismo número sin su signo.
  
  Operaciones Con Números Enteros. Suma Y Resta
  Las operaciones que podemos realizar con los números enteros son las siguientes:
• Suma y resta.
• Multiplicación.
• División.
• Operaciones combinadas.

Comenzamos por la suma y resta.

Suma Y Resta

La suma o resta de dos o más números enteros da siempre otro número entero.

Si sumas números positivos, el resultado será un número positivo.

Si sumas números negativos, el resultado será un número negativo: los sumas como si fuesen positivos y le añades el signo (-).

Ejemplo:

Si sumas números de distinto signo, tendrás que sumar todos los negativos por una parte y todos los positivos por otra. Después, restas los

resultados de sumar positivos por un lado y negativos por otro y al resultado le pones el signo del número que sea mayor de los dos.

Ejemplo:

Es muy importante tener en cuenta que:

• Un signo + delante de un paréntesis no varía los signos de los términos que están dentro cuando quitemos el paréntesis.
• Un signo – delante de un paréntesis hace que los términos que están dentro cambien todos de signo (más pasa a menos y menos pasa a más).

La suma de números enteros tiene las propiedades siguientes: 

• Asociativa: (a + b) + c = a + (b + c)
• Conmutativa: a + b = b + a 
• Elemento neutro: el cero es el elemento neutro de la suma, a + 0 = a 
• Elemento opuesto: todo número entero a, tiene un opuesto –a,   a + (-a) = 0

Operaciones Con Números Enteros. Multiplicación

El producto de números enteros es siempre otro número entero.

Para multiplicar dos números enteros se hace de la siguiente forma:

• Se multiplican los signos.
• Se multiplican los números.

• Si los dos factores a multiplicar tienen el mismo signo, el resultado es un número positivo.
• Si los dos factores a multiplicar tienen distinto signo, el resultado es un número negativo.

Como guía puedes utilizar la siguiente tabla:

Si el número de factores a multiplicar es mayor de dos, se tiene en cuenta que la multiplicación de números enteros cumple la propiedad asociativa y se volvería a la situación anterior.

Ejemplo:

Es conveniente separar el producto de números enteros (en especial cuando se trata de números negativos) por paréntesis, tal y como se observa en este ejemplo:

La multiplicación de números enteros tiene las propiedades siguientes: 

• Asociativa: (a * b) * c = a * (b * c) 

• Conmutativa: a * b = b * a 

• Elemento neutro: el 1 es el elemento neutro de la multiplicación, a * 1 = a 

• Distributiva de la multiplicación respecto de la suma: a * (b + c) = a * b + a * c 

   

Operaciones Con Números Enteros. División

La división de dos números enteros puede dar como resultado un número entero, siempre que el dividendo sea múltiplo del divisor.

Para la división de dos números tienes que tener en cuenta la regla de signos que se usa en la multiplicación, y que ya hemos visto en el apartado anterior:

• Si divides dos factores con el mismo signo, el resultado será positivo.
• Si divides dos factores con distinto signo, el resultado será negativo.

Como guía puedes utilizar la siguiente tabla:

Se realiza de la siguiente forma:

• Divides los signos.
• Divides los números.

Ejemplo:

Operaciones Combinadas De Números Enteros

Las operaciones combinadas son aquellas en las que hay una serie de términos con distintos signos, donde tenemos que realizar varias operaciones distintas. Además, pueden aparecer corchetes y paréntesis.

Ejemplo:

Nota: Prioridad en las operaciones combinadas

En primer lugar se resuelven las operaciones que hay entre paréntesis. La multiplicación y la división se realizan antes que las sumas y restas. Si las operaciones tienen la misma prioridad, se resuelven de izquierda a derecha.

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Si tienes un signo menos delante de un paréntesis o corchete: realiza las operaciones que hay dentro de estos y al resultado lo cambias de signo.

Cuando hay paréntesis y corchetes:

Se efectúan las operaciones de los paréntesis primero.

Después resuelves las que hay dentro de los corchetes.

Para terminar realiza las restantes operaciones.

Actividad para practicar:

¿Quieres realizar algunas operaciones combinadas más? Dirígete a las siguientes direccion de Internet y podrás comprobar si utilizas correctamente la jerarquía de operaciones y el uso de paréntesis.
Números enteros en la web:

http://www.genmagic.net/mates4/jerarquia_opera_c.swf